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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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3. Calcular aplicando el método de integración por partes.
b) ∫x9ln⁡(x)dx\int x^{9} \ln (x) dx

Respuesta

Elegimos f(x)=ln⁡(x) f(x) = \ln(x) y g′(x)=x9 g'(x) = x^9 . Entonces, f′(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x} y g(x)=x1010 g(x) = \frac{x^{10}}{10} .
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫x9ln⁡(x) dx=ln⁡(x)⋅x1010−∫1x⋅x1010 dx \int x^{9} \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^{10}}{10} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{10}}{10} \, dx
=x10ln⁡(x)10−∫x910 dx = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \int \frac{x^{9}}{10} \, dx
=x10ln⁡(x)10−110∫x9 dx = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{1}{10} \int x^{9} \, dx
=x10ln⁡(x)10−110⋅x1010+C = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C
=x10ln⁡(x)10−x10100+C = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{x^{10}}{100} + C
=x1010ln⁡(x)−x10100+C = \frac{x^{10}}{10} \ln(x) - \frac{x^{10}}{100} + C
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