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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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3. Calcular aplicando el método de integración por partes.
b) $\int x^{9} \ln (x) dx$

Respuesta

Elegimos \( f(x) = \ln(x) \) y \( g'(x) = x^9 \). Entonces, \( f'(x) = \frac{1}{x} \) y \( g(x) = \frac{x^{10}}{10} \).
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$ \int x^{9} \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^{10}}{10} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{10}}{10} \, dx $
$ = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \int \frac{x^{9}}{10} \, dx $
$ = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{1}{10} \int x^{9} \, dx $
$ = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{10}}{10} + C $
$ = \frac{x^{10} \ln(x)}{10} - \frac{x^{10}}{100} + C $
$ = \frac{x^{10}}{10} \ln(x) - \frac{x^{10}}{100} + C $
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Avatar Delfi 19 de junio 22:07
Profe a mi la integral me quedo así como puse despues de la flecha, esta mal? 
2025-06-19%2022:04:56_7984732.png
Avatar Julieta Profesor 20 de junio 11:33
@Delfi Hola Delfi! Ayy casi! Está mal porque no podés derivar $\frac{1}{x} . x^{10}$ directamente por tabla. No da ese resultado. Ahí tenés dos funciones de $x$, y para derivar por tabla tenés que tener solo una (o usar un método de integración como sustitución o partes, cosa que vamos a descartar porque acá es fácil ver que podés simplemente cancelar una x del numerador con una del denominador. Es dividir $x^{10} / x = x^9$)

Pooooor otra parte, ojo que cuando abrís el signo de integral sí o sí tenés que poner el $dx$ para cerrar, como te muestro acá en rojo: 2025-06-20%2011:33:44_9595770.png
Avatar Delfi 20 de junio 12:01
@Julieta Aaa ya veo, no sabia que no podía tener 2 funciones de X. Gracias!
Avatar Magdalena 13 de junio 15:37
holaa, no entendi cq cuando le restaste 1/x te quedo x9
Avatar Julieta Profesor 13 de junio 16:43
@Magdalena Hola! No resté, simplifiqué. Es decir, tenía $x^{10}$ en el numerador y una $x$ en el denominador, entonces puedo cancelar una de las $x$ del numerador con la del denominador. Por eso en el numerador queda $x^9$
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